La Constante de PLANCK

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Valores de h Unidades
6.62606896(33) ×10 -34 J·s
4.13566733(10)×10 -15 eV·s
6.62606896(33) ×10 -27 ergio·s
Valores de ħ Unidades
1.054571628(53) ×10 -34 J·s
6.58211899(16) ×10 -16 eV·s

La "constante de Planck", desempeña un papel central en la teoría de la mecánica cuántica y recibe su nombre de su descubridor, Max Planck, uno de los padres de dicha teoría. Expresada como h, es la constante física que frecuentemente se define como el cuanto elemental de acción. Inicialmente Planck la denominaría precisamente "cuanto de acción" . Fue inicialmente propuesta como la constante de proporcionalidad entre la energía E de un fotón y la frecuencia f de su onda electromagnética asociada. Esta relación entre la energía y la frecuencia se denomina "relación de Planck":

E = h.f \,.

Dado que la frecuencia f, la longitud de onda \lambda, y la velocidad de la luz c cumplen \lambda . f = c , la relación de Planck se puede expresar como:

E = \frac{hc}{\lambda}.\,

Otra ecuación fundamental en la que interviene la constante de Planck es la que relaciona el momento lineal p de una partícula con la longitud de onda de de Broglie λ de la misma:

\lambda = \frac{h}{p}.

En aplicaciones donde la frecuencia viene expresada en términos de radianes por segundo o frecuencia angular, es útil incluir el factor 2π dentro de la constante de Planck. La constante resultante, "constante de Planck reducida" o "constante de Dirac" , se expresa como ħ ("h-bar"):

\hbar = \frac{h}{2 \pi}.

De esta forma la energía de un fotón con frecuencia angular ω, donde ω = 2πf, se podrá expresar como

E = \hbar \omega.

Por otro lado, la constante de Planck reducida es el cuanto del momento angular en mecánica cuántica. Los valores que puede tomar el momento angular orbital , de spin o total, son múltiplos enteros o semienteros de la constante reducida. Así, si J\, es el momento angular total de un sistema con invariancia rotacional y J_z\, es el momento angular del sistema medido sobre una dirección cualquiera, por ejemplo la del eje z, estas cantidades sólo pueden tomar los valores:

\begin{matrix}
J^2 = j(j+1) \hbar^2  & j = 0, 1/2, 1, 3/2, \ldots \\
J_z = m \hbar, \qquad\quad & m = -j,-j+1, \ldots, j\end{matrix}.


Contenido

El origen de la Constante de Planck

¿Por qué la constante de Planck?¿De dónde surge?

Fig.1. 5ª Conferencia Solvay, Octubre de 1927, sobre mecánica cuántica.

El camino que lleva a Max Planck a su constante revolucionaria, tiene su origen en un proyecto que comenzó con un cuarto de siglo de anterioridad, la teoría sobre “la ley de distribución de energía del espectro normal” M. Planck 1901. En el proyecto estudiaba la radiación térmica emitida por un cuerpo debido a su temperatura. En esta teoría se introdujo en 1862 el concepto de cuerpo negro, cuya superficie absorbe toda la radiación térmica que incide sobre él, y que además emite la radiación térmica con el mismo espectro a la misma temperatura. Sin embargo, un estudio experimental del cuerpo negro condujo a una gran discrepancia entre los resultados experimentales y los obtenidos aplicando las leyes de la física clásica. Según la Ley de Stefan-Boltzmann, la radiancia espectral de los cuerpos aumenta rápidamente con la cuarta potencia de la temperatura, y además, se desplaza hacia frecuencias mayores ( Ley de desplazamiento de Wien ). El problema surgió al calcular la energía absorbida por el cuerpo negro a una temperatura dada mediante el teorema de la equipartición de energía, pues a medida que la frecuencia crecía la predicción teórica tendía a infinito mientras que los experimentos mostraban que la densidad de energía siempre es finita, y tiende a cero para frecuencias muy altas. Este comportamiento irreal de las teorías clásicas a las altas frecuencias es conocido como "Catástrofe Ultravioleta". Planck estaba interesado en dar sentido a este dilema. Para lograrlo, decidió considerar la energía absorbida y emitida por el cuerpo negro en forma de “paquetes” discretos. Al realizar los cálculos de acuerdo con este procedimiento, y mediante un trabajo numérico, obtuvo una buena concordancia entre los resultados experimentales y los teóricos, introduciendo una constante, h, posteriormente conocida como la constante de Planck.

El trabajo de M. Planck supuso el comienzo de la mecánica cuántica (MC), lo que llevo consigo un cambio de mentalidad en la manera de comprender los fenómenos de la naturaleza a escala atómica 2. En la figura 1 aparecen los protagonistas del nacimiento de la MC en la 5ª Conferencia Solvay. En la fotografía coloreada, se incluye el nombre de los principales autores de la fundamentación de la MC aquí mencionados. También aparecen otras grandes figuras de la formalización de la mecánica cuántica como son, Erwin Schrödinger, Wolfgang Pauli o Paul M. Dirac.

El siguiente paso vino de la mano de Albert Einstein que, de manera análoga a M. Planck, planteó la absorción de luz por un metal de forma discreta, a cuantos, y su correspondiente emisión de electrones, en el Efecto Fotoeléctrico. De nuevo la constante de Planck aparece como protagonista. Otro paso no menos importante dado a comienzos del siglo XX fue el obtenido con el modelo del Átomo de Bohr y sus postulados, revolucionando el concepto del átomo. En él interviene este nuevo concepto de la emisión y absorción de la luz por la materia de manera discreta.Por último, es importante señalar la relación de las teoría de Planck y su constante con el principio de indeterminación de Heisenberg, que más adelante se explicará su fundamento.

¿Por qué es tan pequeña esta constante?

Es importante reflexionar brevemente sobre el por qué de una constante tan pequeña. Cuando se expresa el valor de la constante de Planck en unidades del SI, el valor resultante es muy pequeño, aproximadamente 6.63 x 10-34 J.s, lo cual indica que no parece aplicable a una escala adaptada a humanos (donde los valores habituales son metros, kg o segundos). La constante de Planck se aplica en física cuando se trabaja a escala atómica. Por ejemplo, a la hora de calcular la energía de un fotón de la luz naranja con una frecuencia de 5.77 x 1014 Hz. Cada fotón naranja tiene una energía de h.f = 3.82x 10 -19 J. Para aplicar la constante de Planck a nivel macroscópico habría que hacerlo con cantidades de fotones propias de nuestra escala. En este caso se va a comparar, por ejemplo, con un mol de fotones (NA = 6.02x1023 molec/mol). Si aplicamos la constante de Planck no a un fotón si no a una cantidad hipotética de un mol de fotones, la energía resultante es del orden de 230 kJ/mol, que ya es una medida típica de nuestra vida cotidiana. Lo cual hace patente las diferentes escalas en las que se puede valorar la naturaleza: la atómica (del orden de, por ejemplo, la constante de Planck), la humana (aplicando las unidades básicas del SI), o la del universo (del orden de, por ejemplo, la velocidad de la luz que permite medir distancias en años luz).



La Radiación del Cuerpo Negro

Qué es un Cuerpo Negro

Fig 2. Modelo Horno de Cuerpo Negro. Hacer click para ver la animación.

El nombre cuerpo negro fue introducido por Gustav Kirchhoff en 1862 y su idea deriva de la siguiente observación: toda la materia emite La radiación electromagnética cuando se encuentra a una temperatura por encima del cero absoluto. La radiación electromagnética emitida por un cuerpo a una temperatura dada es un proceso espontáneo y procede de una conversión de su energía térmica en energía electromagnética. También sucede a la inversa, toda la materia absorbe radiación electromagnética de su entorno en función de su temperatura. Un objeto que absorba toda la radiación que incide sobre él a todas las frecuencias se denomina cuerpo negro. Cuando un cuerpo negro posee una temperatura uniforme, la radiación que emite presenta una distribución en función de la frecuencia (o de la longitud de onda, relacionada inversamente con esta) que es característica y que depende de su temperatura. La superficie de una estrella como nuestro Sol tiene una temperatura de 5800 Kelvin y emite radiación con un máximo que se encuentra sobre los 500 nm (luz visible). En cambio, el cuerpo humano cuya temperatura media es muy inferior, está en torno a los 37 grados Celsius, y emite, por tanto, su máximo a mayores longitudes de onda, en torno a los 10 micrómetros, que corresponde al infrarrojo.

Esta radiación es la que se conoce como radiación del cuerpo negro. El concepto de cuerpo negro es una idealización ya que un cuerpo negro perfecto no existe en la naturaleza.[1] Por cuerpo negro ideal se considera aquel que absorbe toda la radiación que le llega sin reflejarla de tal forma que solo emite la correspondiente a su temperatura. Conviene aclarar que el concepto de cuerpo negro es una idealización ya que un cuerpo negro perfecto no existe en la naturaleza 3. En la figura 2 se aprecia un modelo de cuerpo negro llamado horno de cuerpo negro.

Ideas Previas

En la gráfica se representa la intensidad de la radiación emitida por el cuerpo negro en función de la longitud de onda a diferentes temperaturas. El máximo de la curva aumenta al ir hacia menores longitudes de onda (ley de Wien). Se compara con el modelo clásico de Rayleigh-Jeans a altas temperaturas (5000 K) comprobándose la llamada catástrofe del ultravioleta

A finales del siglo XIX la física clásica podía proporcionar explicaciones de la mayoría de fenómenos observados. Sin embargo, algunos físicos se percataron de ciertos desajustes relativos a los espectros de emisión y absorción atómicos en el rango de las longitudes de onda situadas en el espectro visible o en la disminución con la temperatura del calor molar de los sólidos que no explicaba la ley de Dulong y Petit.[2][3] El mayor desajuste de la teoría clásica se conoce como «la catástrofe del ultravioleta» o de Rayleigh-Jeans y está relacionado con la emisión de radiación por los cuerpos en equilibrio térmico a una temperatura dada.


De acuerdo con la ley que enunciaron Rayleigh y Jeans, la densidad de energía emitida por un cuerpo negro para cada frecuencia y temperatura era proporcional al cuadrado de la frecuencia, lo que implicaba que cuanto mayor era la frecuencia mayor debía ser la cantidad de energía suministrada por el cuerpo. Por lo tanto, la contribución más importante a la densidad de energía de la emisión de radiación del cuerpo negro corresponde a la radiación de menor longitud de onda (mayor frecuencia), que en el límite del visible corresponde a la radiación ultravioleta.

Sin embargo, las medidas experimentales demuestran lo contrario,[4] es decir, que la emisión de la radiación disminuye al disminuir la longitud de onda (al aumentar la frecuencia), tendiendo a cero en la región del ultravioleta.[5] Además, si se calcula la energía total emitida por el cuerpo negro para todas las longitudes de onda a una temperatura elevada como la de una estrella, la ley clásica daría una energía infinita; una estrella no emite una radiación infinita y este resultado viola la ley de conservación de la energía, poniendo así en tela de juicio la ley clásica o ley de Rayleigh-Jeans.[6]

Fue Max Planck quien propuso la ley que lleva su nombre y que, mediante la idea de emisión y absorción de la luz por la materia en forma discreta a «cuantos» de energía h·f, resuelve el problema de la emisión y absorción de la radiación por los cuerpos en equilibrio térmico a una temperatura dada. Esta manera de abordar el problema de la emisión y la absorción de la energía electromagnética creó una nueva concepción del mundo físico.[7]

A finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX era virtualmente imposible darse cuenta de que la raíz de los inconvenientes que presentaba la interpretación de algunos fenómenos físicos estaba en la hipótesis de que la energía era continua. Este cambio de mentalidad que supone la emisión y absorción de la luz por los cuerpos en forma de cuantos de energía lo pondría también de manifiesto Einstein en 1905 con la explicación del efecto fotoeléctrico.

Ley de Planck para la emisión del Cuerpo Negro

Fig 4. Ley Planck a diferentes temperaturas en función de la frecuencia para la radiación del cuerpo negro.

La ley de Planck establece que la energía electromagnética absorbida o emitida por un cuerpo negro se realiza por medio de intercambio de cuantos de energía electromagnética hf, de acuerdo con la siguiente expresión

I(f,T)=\frac{2 f^2}{c^2}\frac{h f}{e^{h f/kT}-1} \qquad Ley \quad de \quad  Planck

donde:

  • I (f,T) es la energía por unidad de tiempo (o la potencia), por unidad de área de la superficie que emite en la dirección normal, por unidad de ángulo sólido, y por unidad de frecuencia , radiada por un cuerpo negro a la temperatura T;
  • h es la constante de Planck;
  • c es la velocidad de la luz en el vacío;
  • k es la constante de Boltzmann;
  • f es la frecuencia de la radiación electromagnética; y
  • T es la temperatura del cuerpo en kelvin .

La ley de Planck se comporta correctamente,(de acuerdo con los resultados experimentales, para todo el margen de frecuencias). Se puede apreciar cómo en la función de distribución I (f, T) el cuanto de energía hf aparece en el término exponencial. La famosa constante h , hoy llamada constante de Planck, la determinó Max Planck mediante un trabajo numérico de forma que el acuerdo entre su teoría y los resultados experimentales fuera el mejor posible. El valor que obtuvo fue de h = 6.63 x 10-34 J.s , muy cercano al empleado actualmente. En principio, Planck llegó a pensar si la introducción de su constante h no sería un recurso matemático adecuado para resolver el problema del cuerpo negro. A los pocos años, el éxito de su teoría cuántica para la correcta interpretación de la entropía y del tercer principio de la termodinámica, así como las ideas de Einstein sobre la teoría cuántica de la radiación le reafirmaron en la certeza de su teoría.

Verificación: Ley de Rayleigh-Jeans como límite de la Ley de Planck

En el límite clásico de bajas frecuencias la ley de Planck coincide con la Ley de Rayleigh-Jeans:



I(f,T)=\frac{2 f^2}{c^2}\frac{h f}{e^{h f/kT}-1}=\frac{2f^2}{c^2}\frac{h f}{(1+\frac{h f}{kT}+...)-1}\approx\frac{2 f^2}{c^2}kT \qquad Ley \quad de \quad Rayleigh - Jeans



Para frecuencias intermedias y altas, sin embargo, difieren ostensiblemente. Es más, al aumentar la frecuencia f, la segunda crece indefinidamente mientras que la primera tiende a cero (ver la Figura 3).



El Efecto Fotoeléctrico

Fig 5. Esquema del efecto fotoeléctrico. Interacción de los fotones sobre una lámina metálica. A consecuencia de la interacciónn se liberan algunos electrones.

En 1887 H. Hertz descubrió algo importante y paradójico en aquellos momentos. Una descarga eléctrica entre dos electrodos ocurría más fácilmente cuando sobre uno de ellos incidía luz ultravioleta. Fue P. Lénard, posteriormente, quien demostró que la luz ultravioleta facilita la descarga eléctrica ya que provoca la emisión de electrones desde la superficie del cátodo. Sin embargo a A. Einstein le valió este experimento para contradecir algunos aspectos de la teoría electromagnética clásica 4a4b [. El efecto fotoeléctrico ha sido uno de los ejemplos más interesantes para ilustrar la naturaleza corpuscular de la luz, llevando al desarrollo de la mecánica cuántica durante el siglo XX. Su correcta interpretación le supuso el premio Nobel en 1921 al científico alemán Albert Einstein y no la teoría de la relatividad. La explicación de este efecto sigue teniendo gran repercusión en la actualidad en sus aplicaciones docentes y de ciencia de materiales.


Cuando la luz de determinada longitud de onda incide sobre la superficie de un metal, éste emite un flujo de electrones. En la época en la que se realizó este descubrimiento, la teoría ondulatoria de la luz era el único modelo disponible. Según esta, el número de electrones emitidos debía aumentar proporcionalmente a la intensidad de la luz; además debería existir un margen de tiempo entre la incidencia de los fotones y la emisión de los electrones. Al proceder a la experimentación, ninguna de estas condiciones resultaron ser ciertas. La intensidad luminosa no afecta la emisión de los electrones, pero sí la frecuencia, ya que el efecto fotoeléctrico sólo se produce para ciertos valores de ésta y el margen de tiempo es irrelevante. La teoría ondulatoria, por tanto, no resulta válida a la hora de explicar el efecto fotoeléctrico.


Para justificar el fenómeno, Einstein empleó una idea relativamente nueva propuesta por Max Planck en 1900 para explicar una paradoja similar surgida a la hora de interpretar la radiación del cuerpo negro. Planck consideró la luz como una serie de paquetes discretos a los que denominó cuantos en lugar de considerarla como una onda. Utilizando esta teoría, Einstein determinó que la energía de los cuantos, partículas que llamamos fotones, está relacionada con la frecuencia de la onda luminosa, mediante la expresión:

E = hf

Donde E es la energía cinética del fotón, f su frecuencia y h la constante de Planck (6,63 * 10^{-34} J.s) Una vez establecida la energía del fotón , el efecto fotoeléctrico se convierte en un caso simple de aplicación del principio de conservación de la energía.

Cuando la luz incide sobre una superficie, está aportando una cierta energía, E en particular a los electrones de la superficie. Existe un valor concreto de enegía necesario para “despegar” el electrón, llamado energía umbral y también función de trabajo,\Phi_u. El exceso de energía por encima de \Phi_u aparecerá en forma de energía cinética del electrón,E_cel cual adquirirá la velocidad que corresponda a citada energía cinética.


E(foton) = \Phi_u + E_c(electron)



Existen varios procedimientos para verificar esta ecuación. Uno consiste en medir las diferencias de potencial entre los electrodos de una célula fotoeléctrica con un voltímetro al iluminar la célula con luz monocromática de diversas longitudes de onda. Como consecuencia se crearán distintas diferencias de potencial V entre los electrodos y aparecerá un paso de corriente producida por los electrones arrancados del cátodo. Una variación de este experimento consistiría en conectar la célula a una batería con las polaridades invertidas y ajustar el valor de la misma hasta que la corriente de la célula descendiera a cero, lo que significaría que el campo opuesto creado es capaz de evitar que los electrones se desprendan de la superficie metálica. Ambos métodos deben verificar el principio de conservación de la energía y por tanto deben cumplir que la energía cinética de los electrones emitidos procede de la diferencia de potencial V existente entre los electrodos de la fotocélula en el primer caso y en el segundo, representa el potencial V opuesto que se aplica y que anula la corriente establecida. Por ello, la ecuación se podría escribir de la siguiente manera:

qV = hf - \Phi_u

Donde q es la carga del electrón y V, el potencial de frenado.

La solución que Einstein propuso al problema del efecto fotoeléctrico resuelve por completo las contrariedades del modelo ondulatorio. Al tratar la luz como cuantos, se puede comprender como la intensidad de la luz no afecta a la energía del electrón, sino a la cantidad de electrones que se emiten, todos ellos con la misma energía, la cual depende de la frecuencia. Por la misma razón, este efecto no se aprecia para todas las frecuencias, sino sólo cuando el fotón tiene la suficiente energía para superar la energía umbral. Por último, no existen motivos para que exista un margen de tiempo para apreciar el efecto ya que el electrón se desprende tan pronto como el fotón impacta la superficie. Este hecho constituye una prueba definitiva de la naturaleza corpuscular de la luz.





Modelos atómicos: la vieja teoría cuántica. El modelo atómico de Bohr.

Niels Henrik David Bohr (Copenhague, 7 de octubre de 1885 – ibíd. 18 de noviembre de 1962) fue un físico danés que realizó contribuciones fundamentales para la comprensión de la estructura del átomo y de la mecánica cuántica.

Basándose en las teorías de Ernest Rutherford, publicó su modelo atómico en 1913, introduciendo la teoría de las órbitas cuantizadas.

En 1922 recibió el Premio Nobel de Física por sus trabajos sobre la estructura atómica y la radiación. Numerosos físicos, basándose en este principio, concluyeron que la luz presentaba una dualidad onda-partícula.

En la física atómica, el modelo de Bohr, presenta el átomo como un pequeño núcleo cargado positivamente rodeado por electrones que se mueven alrededor del núcleo en órbitas circulares, similar en estructura al sistema solar, pero con una atracción producida por fuerzas electrostáticas en lugar de gravitatorias. Supuso una mejora con respecto al anterior modelo de Thomson o el modelo de Rutherford. Dado que el modelo de Bohr es una modificación del modelo de Rutherford basada en la física cuántica, muchas fuentes combinan los dos, y hablan del modelo de Rutherford-Bohr. La clave para el éxito del modelo radica en explicar la fórmula de Rydberg para las líneas de emisión espectrales del hidrógeno atómico. La fórmula de Rydberg funcionaba experimentalmente, pero no se pudo justificar teóricamente hasta que Bohr introdujo su modelo. El citado modelo no solo explica la razón de la estructura de la fórmula de Rydberg, sino también proporciona una justificación de sus resultados empíricos en términos de constantes físicas fundamentales. El modelo de Bohr es un modelo primitivo del átomo de hidrógeno, en comparación con la teoría del actual . Sin embargo, debido a su simplicidad, y a sus resultados correctos en la interpretación de algunos sistemas concretos, el modelo de Bohr aparece siempre en las introducciones a la mecánica cuántica.

Las grandes aportaciones de Bohr a su modelo del átomo se encierran en el segundo y tercer postulados. En el segundo establece la condición de cuantización de las órbitas de los electrones en el átomo y en el tercero introduce la hipótesis de que la energía de un electrón en el átomo solamente puede intercambiarla con el entorno, en pequeñas cantidades múltiplo de la constante de Planck, pasando de una órbita a otra según la condición del segundo postulado. El tercer postulado impide entre otras cosas que el electrón en su movimiento alrededor del núcleo pierda energía de manera continua y salga despedido hacia el núcleo como predecía la teoría clásica.


Primer postulado

Los electrones se mueven en ciertas órbitas circulares permitidas alrededor del núcleo sin emitir energía. En el átomo no hay emisión de radiación electromagnética mientras el electrón permanece en su órbita. La causa de que el electrón no radie energía es un postulado, ya que según la electrodinámica clásica una carga en movimiento acelerado,como es el movimiento de rotación, debe emitir energía en forma de radiación.

Fig 6. Órbita de un electrón alrededor del átomo de Hidrógeno.

Para obtener la energía del electrón en una órbita dada en función de su radio, N. Bohr presupone órbitas circulares y utiliza un razonamiento clásico. Su razonamiento es el siguiente. El movimiento de rotación del electrón se mantiene por la acción de dos fuerzas: la de Coulomb, atractiva, debida a la presencia del núcleo positivo y la centrífuga, repulsiva, iguales en magnitud y de sentido contrario en toda la órbita. Esto conduce a la siguiente expresión:

 k{Ze^2 \over r^2} = {m_ev^2 \over r}
Donde el primer término es la fuerza de Coulomb, y el segundo es la fuerza centrífuga; k es la constante de la fuerza de Coulomb, Z es el número atómico del átomo, e es la carga del electrón, m_e es la masa del electrón, v es la velocidad del electrón en la órbita y r el radio de la órbita.

Partiendo de la ecuación anterior y sabiendo que la energía total es la suma de las energías cinética y potencial, la energía de un electrón se expresa en función del radio r de la órbita como:

E=-{1 \over 2}{kZe^2 \over r}


Con este postulado Bohr evitaba el problema de la inestabiliad orbital del electrón, y por tanto del átomo, predicha por la electrodinámica clásica. Esto lo hace al postular que la radiación de energía por parte de las partículas cargadas es válida a escala macroscópica, pero no es aplicable al mundo microscópico del átomo. Sin embargo, ahora surge el problema de explicar la transición entre los estados estacionarios y la emisión de radiación por el átomo, para lo que N. Bohr introdujo otro postulado.

Segundo postulado

La condición de cuantización de las órbitas permitidas para el movimiento del electrón en el átomo, es una de las grandes aportaciones de Bohr, si bien no aparece en su primer postulado. Observemos que Bohr hace uso de la constante de Planck como un momento angular elemental de forma que los momentos angulares posibles del electrón son sólo los múltiplos enteros del citado momento angular elemental. Así, no todas las órbitas del electrón alrededor del núcleo están permitidas, tan sólo aquellas cuyo radio cumpla que el momento angular, L, del electrón sea un múltiplo entero de \hbar={h \over 2\pi}

A partir de esto queda la condición de cuantización para los radios permitidos para el electrón son:

r_n={n^2\hbar^2 \over km_eZe^2}
con  n=1,2,3,\dots;


Sustituyendo los radios permitidos r_n en la expresión de la energía se puede obtener la energía correspondiente a cada órbita permitida:

E_n=-{1 \over 2}{k^2mZ^2e^4 \over n^2\hbar^2}

Tercer postulado

El electrón solo emite o absorbe energía en los saltos de una órbita permitida a otra. En dicho cambio emite o absorbe un fotón cuya energía es la diferencia de energía entre ambos niveles. El fotón, siguiendo las ideas de Planck tiene una energía:

E_{\gamma}=h \nu=E_{n_i} - E_{n_f}
donde n_i identifica la órbita inicial y n_f la final, y \nu es la frecuencia del fotón.
Fig 7. Emisión y absorción de energía en forma de cuantos al pasar de una orbita a otra.

Introduciendo los valores de las energías asociadas a cada órbita se obtiene para la frecuencia del fotón emitido o absorbido:

\nu  = {k^2 m_e Z^2 e^4 \over 2 h \hbar^2} \left({1 \over n_f^2}-{1 \over n_i^2}\right)


Ésta última expresión fue muy bien recibida porque explicaba teóricamente la fórmula hallada antes por Balmer para describir la Serie de Balmer observada desde finales del siglo XIX en la desexcitación del Hidrógeno y que venían dadas por:

\overline{\nu} = {1 \over \lambda} = R_H \left({1 \over 2^2}-{1 \over n^2}\right)
con n=3,4,5,\dots, y donde R_H es la llamada constante de Rydberg para el hidrógeno. El valor medido experimentalmente de la constante de Rydberg (1.097 10^7 m^{-1}), coincide con el valor de la fórmula teórica de Bohr.

Los postulados de Bohr corresponden a una primera consideración del hecho de que los electrones estables orbitando en un átomo están descritos por funciones de onda estacionarias.



Principio de Incertidumbre de Heisenberg

Introducción

Fig 8a.Principio de Incertidumbre para la medida simultánea de la posición y el momento de una partícula.

"El verdadero problema del mundo es que los tontos y los fanáticos siempre están tan seguros de sí mismos y en cambio, la gente mas sabia, tan llena de dudas" , Bertrand Russell (1872 - 1970).

W. Heisenberg ( Premio Nobel de Física 1932) enunció el llamado Principio de incertidumbre o Principio de indeterminación, según el cual es imposible medir simultáneamente, y con precisión absoluta, el valor de la posición y la cantidad de movimiento de una partícula. Esto significa, que la precisión con que se pueden medir las propiedades de los objetos microscópicos, como posición y momento, está limitada y el límite viene fijado por una ecuación donde la constante de Planck es sujeto principal. El principio de incertidumbre en una dimensión (por ejemplo, a lo largo del eje x) se escribe:

\Delta x \, \Delta p_x\gtrsim h/4\pi \ \qquad   (1)

\Delta x \, : indeterminación en la posición.

\Delta p_x \, : indeterminación en la cantidad de movimiento.

 h : constante de Planck (h=6,626 — 10-34 J.s).

De manera análoga, se podría considerar la relación de Incertidumbre en cualquiera de las proyecciones espaciales ( sobre los ejes de coordenadas y o z).

Es importante insistir en que la incertidumbre no se deriva de los instrumentos de medida, sino del propio hecho de medir. Con los aparatos más precisos imaginables, la incertidumbre en la medida continúa existiendo. Así, cuanto mayor sea la precisión en la medida de una de estas magnitudes mayor será la incertidumbre en la medida de la otra variable complementaria. La posición y la cantidad de movimiento de una partícula, respecto de uno de los ejes de coordenadas, son magnitudes complementarias sujetas a las restricciones del principio de incertidumbre de Heisenberg. También son variables complementarias afectadas por el principio de incertidumbre, para un mismo objeto, su energía E y el tiempo, t empleado en la medida,

\Delta E\Delta t\gtrsim h/4 \pi

Aplicación del principio de Incertidumbre

Fig 8. LHC europeo en el CERN, frontera franco-suiza
Veamos un ejemplo realista de aplicación del principio de Incertidumbre para el caso de protones con velocidades elevadas. En el LHC (Large Hadron Collider) del CERN, se producen colisiones de protones a una velocidad próxima a la de la luz. Si los protones alcanzan velocidades punta de  \ v_p\ = 2.998 \times 10^{8} \ m \cdot s^{-1} y se midieran con un 1% en la precisión de su medida. Calcularemos entonces la incertidumbre en la posición de dichos protones de masa  \ m\ = 1.673 \times 10^{-27} kg con una aproximación del 1% en su velocidad, y por tanto:

\Delta v_p\ = (1 \times 10^{-2})(2.998 \times 10^{8} m \cdot s^{-1}) = 2.998 \times 10^{6} m \cdot s^{-1}

Dado que \Delta p \ = m \times \Delta v_p\ ,

por el principio de Incertidumbre, ecuación (1), de la incertidumbre en la determinación simultánea de su velocidad y posición, se obtiene la siguiente relación para \Delta x \, ,


 \Delta x\ \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}J \cdot s}{(4\pi)(1.673 \times 10^{-27} kg)(2.998 \times 10^{6} \ m \cdot s^{-1})} \geq \frac{6.626}{63.029} \times 10^{-13} m


Por tanto,  \Delta x\ \geq (\pm 1.05 \times 10^{-14} m) , es la indeterminación en la posición del protón. 


En las mismas condiciones de precisión, y siguiendo el principio de Incertidumbre, ecuación (1), se comprueba que cuanto mayor es la velocidad de la partícula, menor es su indeterminación en la posición y viceversa. Un ejemplo extremo sería el caso de un protón a muy bajas velocidades 'casi quieto', entonces su posición estaría muy localizada en el espacio pero , en cambio, su incertidumbre sobre dicha posición sería grande.

Aplicación macroscópica del principio de Incertidumbre

Un artículo publicado en la revista Science 5 en Febrero de 2013 demuestra que los efectos de la mecánica cuántica no sólo son claramente medibles en los experimentos microscópicos, sino que también es posible observarlos en la macrofísica. Es el caso de un oscilador macroscópico que consta de una membrana situada dentro de una cavidad óptica y cuya posición se puede medir gracias a la luz que se refleja en ambos extremos de la cavidad. En la figura 9 se muestra el esquema básico del sistema de medida. Una analogía para la medida óptica de la posición de un objeto es la que se realiza con el sistema de enfoque automático de una cámara de fotos. Al emitir un pulso de luz infrarroja, este se refleja en el objeto y vuelve a la cámara. El tiempo empleado por el haz en ir y volver lo usa la cámara para estimar la distancia entre el objeto y el plano de la imagen. Los autores han podido comprobar cómo se ve afectada la posición de la membrana por la presión de radiación debida a la radiación incidente en la membrana. La medida es tan precisa que se encuentra influenciada por la naturaleza cuántica de los fotones y el error sistemático de la medida sólo está limitado por el ruido cuántico que predice el principio de indeterminación de Heisenberg, ecuación (1).  El citado principio conduce a cambios en la intensidad de la luz detectada que permiten medir el retroceso de la membrana debido a la presión de la radiación.

Nueva comprensión en la física

Fig 9 Aplicación macroscópica del principio de indeterminación de Heisenberg en la medida óptica de la posición de un objeto macroscópico (una membrana en una cavidad óptica)
El trabajo6 además de representar un avance en la observación de los fenómenos cuánticos, constituye un hito en la medida de este tipo de sucesos ya que el experimento alcanza los límites de precisión impuestos por el principio de indeterminación de Heisenberg en las medidas ópticas de la posición de un objeto (membrana en una cavidad óptica). Esto se debe a que en la citada experiencia se puede medir con precisión el ruido de disparo debido a la presión de radiación, RPSN (radiation pressure shot noise) que es el retroceso experimentado por el fotón al colisionar contra el objeto. Por el principio de Heisenberg, este “ruido de disparo” presenta una incertidumbre en la cantidad de movimiento, Δp que conlleva un error en la medida de la posición Δx. Esta relación ha impuesto un límite máximo a la sensibilidad de los experimentos de este tipo. El nuevo procedimiento publicado en Science permite medir la posición de un objeto con un error limitado sólo por el RPSN. Con estos experimentos se pueden verificar procedimientos teóricos utilizados para intentar esquivar el límite impuesto por el principio de Indeterminación, como es el uso de la luz comprimida de incertidumbre mínima (quadrature-squeezed light, estado coherente comprimido ) o las técnicas para evitar el retroceso (back-action evasion).





Medidas Experimentales de la Constante de Planck

Determinación actual de la Constante de Planck

La constante de Planck h es una constante física fundamental que impregna toda la mecánica cuántica. Existen muchos fenómenos físicos donde interviene la constante de Planck. Algunos de ellos se emplean para efectuar una determinación experimental de la misma. Gracias a la precisión de la tecnología actual, la constante h se puede determinar con, al menos, nueve cifras significativas . Hoy en día, la determinación experimental de h se realiza a partir de las siguientes experiencias:

Si bien la constante de Planck está asociada a sistemas microscópicos, conviene resaltar que la manera más precisa de obtenerla deriva de fenómenos macroscópicos como el efecto Hall cuántico y el efecto Josephson </ref>[8][9].

A nivel de laboratorio docente universitario se ha venido determinando h a partir del efecto fotoeléctrico. En la actualidad resulta muy cómodo estimarlo empleando diodos LED.

La Constante de Planck en la definición de las unidades del SI

El propio Planck adelantó la idea de establecer las unidades empleadas en física a partir de las constantes universales10 . Las primeras mediciones de la constante h se efectuaron a partir del efecto Fotoeléctrico . Durante varias décadas se fueron optimizando nuevos experimentos que hicieron posible la medida de otros fenómenos físicos afectados directamente por la constante h así como de otras constantes como la carga elemental , e y el número de Avogadro, NA . Conforme las técnicas experimentales han ido mejorando, se ha ido mejorando también la precisión del valor de h . En 1960 se introdujo el SI ( Sistema Internacional de unidades ) y con él la definición de las unidades eléctricas del V (voltio), y el ohm (Ohmio) pero es en la década de los 90 cuando se definió por primera vez el ohmio a partir de la constante fundamental h midiendo la resistencia Hall en el efecto Hall cuántico 11 y el voltio, a partir del efecto Josephson 12. Nació así un nuevo SI partiendo de muy pocas constantes fundamentales para sus definiciones. Las teorías del efecto Josephson y del efecto Hall cuántico han desempeñado un papel crucial para mostrar la influencia de la constante h en las directrices para las mediciones eléctricas, conforme éstas han ido llevando a nuevos dispositivos electrónicos. La constante h no sólo se ha convertido en esencial en las definiciones de las unidades de los voltios y los ohmios, sino que las medidas de los efectos mencionados han permitido determinar h directamente y con precisión aún mayor. El CODATA de 2010 (Committee on Data for Science and Thechnology) recomendó emplear un valor de 13

h =\,\, 6,626\ 069 \ 57(29) \times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s} \,\, = \,\,  4,135\ 667\ 51(40) \times10^{-15}\ \mbox{eV}\cdot\mbox{s}


Sin el refinamiento de las medidas del efecto Hall cuántico y del efecto Josephson, pero de una manera más básica, aunque con menos precisión, también se puede determinar la constante h a nivel de laboratorio docente universitario que forma tradicional se ha venido obteniendo a partir del efecto fotoeléctrico. Sin embargo, debido al progreso alcanzado en la tecnología LED cada vez son más frecuentes los experimentos para medir la constante h haciendo uso de diodos LED . Los diodos LED han adquirido hoy en día una gran importancia debido al alto rendimiento de la luz emitida y , a la refinada tecnología de semiconductores de que disponemos se dispone actualmente, así como el abaratamiento de los costes de fabricación. A continuación se detalla el fundamento y las medidas realizadas con diodos LED para la medida de la constante h.

La estimación de la constante de Planck con diodos LED en el laboratorio universitario

Fundamento Físico

Fig 10. Fundamento físico del funcionamiento de un diodo LED

Los diodos led son componentes electrónicos fabricados con materiales semiconductores que al paso de la corriente eléctrica, emiten luz. El fundamento electrónico del proceso es el mismo que el de los diodos semiconductores convencionales empleados como rectificadores y que se explicará a continuación, prestando atención a las diferencias con los LEDs. En la práctica, los LED se emplean como emisores de luz debido a su alto rendimiento. La emisión se conoce como luz fría por el escaso calentamiento que tiene un diodo LED al emitir luz. En su funcionamiento, los diodos están constituidos por dos capas de distintas propiedades eléctricas, una más positiva —' zona P'— y la otra más negativa —'zona N'— en contacto directo —zona de la 'unión PN'—. En concreto, la zona N se dopa con más electrones de los que existirían de forma natural y en la zona P se quitan electrones para crear 'huecos'. Al establecerse el contacto entre las dos porciones, los electrones en exceso de la región N pasan a la región P y van ocupando los huecos en la zona de contacto. Al llenar un hueco se crea un ion negativo en la zona P y deja tras de sí un ion positivo en la zona N. Con ello se acumula en la zona de contacto una carga espacial, hasta llegar a un cierto equilibrio, creándose un campo eléctrico en la unión entre las dos capas que hace de barrera de potencial permanente en ausencia de un generador eléctrico y no permitiendo el paso de nuevos electrones de la región N a la P. La zona de la unión donde se ha acumulado la carga se llama región de depleción (del inglés depletion) o de agotamiento [10] . Externamente se puede modificar el campo eléctrico o barrera de potencial establecidos en una unión PN aplicando un generador eléctrico. Si el polo positivo se aplica a la zona N y el polo negativo a la zona P ( lo que se conoce como polarización inversa ) se contribuirá a incrementar la altura de la barrera de potencial y la corriente que circulará del polo positivo al polo negativo a través de la unión PN será muy débil. Por el contrario, si el polo positivo del generador se aplica a la región P y el negativo a la región N ( lo que se conoce como polarización directa ) se reducirá la altura de la barrera de potencial y la corriente podrá circular entre el polo + y el polo - a través de la unión PN. En un diodo LED si se polariza la unión PN directamente, haciendo positiva la región p en relación con la región n, se reduce la intensidad del campo disminuyendo entonces la barrera de potencial y permitiendo el desplazamiento de las cargas , el establecimiento de la corriente y la emisión de fotones. El fenómeno físico que tiene lugar en la unión PN al paso de la corriente en polarización directa consiste en una sucesión de recombinaciones electrón-hueco. El fenómeno de la recombinación viene acompañado de la emisión de algún tipo de energía. En los diodos ordinarios de Germanio o de Silicio se producen fonones o vibraciones de la estructura cristalina del semiconductor que contribuyen, simplemente, al calentamiento de este. En el caso de los diodos LED los materiales estructurales son diferentes de los anteriores tratándose, por ejemplo, de aleaciones varias de arseniuro de galio. En estos semiconductores, las recombinaciones que se desarrollan en las uniones PN eliminan el exceso de energía emitiendo fotones luminosos. El color de la luz emitida es característico de cada aleación concreta y depende de su frecuencia. En la actualidad se fabrican aleaciones que producen fotones luminosos de varios colores.

A partir de un valor de la tensión externa (que depende del tipo de material semiconductor), el LED comienza a emitir fotones, es la tensión de encendido V_0. Los portadores de la carga, electrones y huecos, pueden desplazarse a través de la unión cuando se aplican a los electrodos diferentes tensiones. Al ir elevando la tensión externa a la unión, el LED comienza a conducir; a partir de la tensión de encendido V_0, comienza a emitir fotones y a tensiones mayores, aumenta la intensidad de luz emitida. Este aumento de intensidad luminosa al aumentar la intensidad de la corriente puede verse disminuida por la recombinación Auger [11] [12]. Durante el proceso de recombinación, el electrón salta de la banda de conducción a la de valencia emitiendo un fotón y accediendo, por conservación de la energía, a un nivel más bajo de energía, por debajo del nivel de Fermi del material. El proceso de emisión se llama recombinación radiativa [13], que corresponde al fenómeno de la emisión espontánea, Así, en cada recombinación radiativa electrón-hueco se emite un fotón de energía igual a la anchura en energías de la banda prohibida, E_g (ver la figura):

E_g = h f =\frac{hc}{\lambda}\qquad (2)


siendo c la velocidad de la luz y λ es la longitud de onda de la luz que emite. Esta descripción del fundamento de la emisión de radiación electromagnética por el diodo LED (hay LEDs que emiten también en el ultravioleta y en el infrarrojo) se puede apreciar en la figura donde se hace una representación esquemática de la unión PN del material semiconductor junto con el diagrama de energías, implicado en el proceso de recombinación y emisión de luz, en la parte baja del dibujo. La longitud de onda de la luz emitida, y por lo tanto su color, depende de la anchura de la banda prohibida de energía. En los diodos de silicio o de germanio, los electrones y los huecos se recombinan generando vibraciones de la red en forma de fonones y emitiendo radiación térmica. Es una transición no radiativa que, finalmente, produce el calentamiento del diodo en vez de emitir luz. Los substratos más importantes disponibles para su aplicación en emisión de luz son el GaAs y el InP. Los diodos LED pueden disminuir su eficiencia si sus picos de absorción y emisión espectral en función de su longitud de onda, están muy próximos, como ocurre con los LED de GaAs:Zn (dopado con Zinc) ya que parte de la luz que emiten, la absorben internamente 15.

Los materiales utilizados para los LED tienen una banda prohibida en polarización directa cuya anchura en energías varía desde la luz infrarroja, al visible o incluso cerca del ultravioleta. La evolución de los LED comenzó con dispositivos infrarrojos y rojos de arseniuro de galio [14]16. Los avances de la ciencia de materiales han permitido fabricar dispositivos con longitudes de onda cada vez más cortas, emitiendo luz en una amplia gama de colores. Los LED se fabrican generalmente sobre un sustrato de tipo N, con un electrodo conectado a la capa de tipo p depositada en su superficie. Los sustratos de tipo P, aunque son menos comunes, también se fabrican.

Resultados Experimentales

Fig 11. Curva característica de un diodo LED con sus zonas de polarización directa e inversa
Como se ha descrito en el fundamento, un LED requiere alcanzar una cierta tensión aplicada a sus bornes V_0, en polarización directa, para que emita luz. Esta tensión de encendido del LED,   V_0 es proporcional, en energías, a la anchura de la banda prohibida E_g:

E_g  = e V_0 + \Delta E \qquad \qquad   (3) ,

siendo e la carga del electrón. Además, recordando la ec. (2),

E_g = E_{\rm Foton} = h f \qquad    (4) .

En realidad, esta proporcionalidad en energías entre el gap E_g y la energía de 'encendido' e V_0 y entre el gap y el cuanto de energía del fotón, es aproximada. Si bien dependiendo del material semiconductor del LED, la frecuencia de emisión está determinada, debido a que se utilizan diferentes materiales dopantes con un mismo substrato semiconductor, la energía asociada al salto del electrón desde la banda de conducción a la de valencia es algo menor 17. Debido a la aproximación realizada, se incluye en la ecuación (3) una constante aditiva \Delta E que la hace más realista y permite un ajuste mas adecuado a las medidas experimentales.

La tensión de 'encendido' tiene una interpretación de interés a partir de la curva característica del LED como se explica a continuación. En el codo de la misma (ver figura 11) y en polarización directa, es precisamente, donde está localizada la tensión   V_0 , que es diferente de un LED a otro. Para tensiones menores a la tensión de encendido la corriente es muy débil y la tensión en bornes del LED no es suficiente para producir una emisión de fotones estadísticamente significativa. Para tensiones correspondientes al comienzo del codo de la curva y a una intensidad de corriente determinada, la misma para todos los LEDs considerados, es donde se considera el comienzo de la emisión de luz.

Así las ecuaciones (3) y (4) se convierten en

 eV_{\rm 0}+ \Delta E   =  h f\qquad  (5)

En esta determinación de la constante de Planck se usa la ecuación (5). Midiendo la tensión de encendido V_0 de los diferentes LEDS en función su frecuencia de emisión f y realizando el ajuste por una recta según esta ecuación , se obtiene h como la pendiente de la misma, independientemente del valor de \Delta E.



Obtención de la longitud de onda de un LED

Fig. 12a Gráfica de Familia de curvas de luminosidad del diodo LED RS-Rojo medido en el Departamento de Fotónica de la ETSI de Telecomunicaciones (UPM).

Si bien las hojas técnicas de los fabricantes de los diodos LED muestran los valores de las longitudes de onda emitidas 18,19,20, se ha preferido determinarlas experimentalmente 21. Se empleó un analizador de espectros ópticos AQ-6315A / -6315B. La señal luminosa le llega al analizador a través de una fibra óptica. El origen de la fibra se situa frente al diodo LED y se emplaza mediante un 'posicionador de 3D'. La fibra se centra sobre el diodo con ayuda de la lectura de la corriente suministrada por un | fotodetector de Si. El analizador proporciona la potencia óptica captada por la fibra en función de λ. El resultado viene dado en dBm ( decibelios referidos a 1 mW ) La sensibilidad del analizador alcanza los -60 dBm. Para cada diodo se exploró la región de longitudes de onda emitidas. Los valores que figuran en este artículo corresponden a los resultados de las medidas experimentales. Como se pudo observar, aparece una dependencia de las curvas de luminosidad con la temperatura. Para minimizar este efecto, se han elegido las curvas correspondientes a las corrientes más débiles, de 10 mA. Los resultados obtenidos experimentalmente se corresponden bien con los datos de los fabricantes. De entre todas las familias de curvas de luminosidad medidas en el laboratorio se ha seleccionado la correspondiente al LED RS rojo que aparece en la figura 12a. Se puede observar el efecto de la temperatura en el pequeño desplazamiento del máximo de la curva hacia mayores longitudes de onda cuando se aumneta la intensidad de la corriente a través del LED.


Fig. 12b Gráfica comparativa de la diferente luminosidad de los diodos LED verdes según diferentes fabricantes. Medidas realizadas en el Departamento de Fotónica de la ETSI de Telecomunicaciones (UPM).




En las figuras 12a y 12b se representan ,en el eje horizontal, los valores de la longitud de onda y en el eje vertical, la potencia luminosa emitida normalizada. En la figura 12a, las tres curvas corresponden a valores de la corriente directa de 10, 20 y 30 mA. A cada diodo LED se le ha asociado la longitud de onda correspondiente al máximo de la curva de luminosidad. De entre todos los diodos LED medidos se han seleccionado los siete que mostraban una mayor luminosidad y cubrían razonablemente el espectro óptico. En la siguiente figura, 12b, se puede apreciar, comparando sus curvas de luminosidad, por qué se han elegido los diodos D+ Verde y CO Verde. En cambio se ha desechado el RS Verde, debido a su baja luminosidad y peores características de emisión.










Trazado de las curvas características de los diodos LED. Determinación experimental de las tensiones de encendido



Fig. 13 Esquema del circuito LED alimentado con tensión continua incrementada gradualmente hasta que el LED comienza a lucir.

Se han medido las tensiones de encendido en el laboratorio para todos los diodos LED empleados en la experiencia utilizando para ello dos procedimientos. El primero implementando el circuito de medida alimentado con una fuente de tensión continua y en el segundo, el circuito es alimentado con una f.e.m. alterna. En ambos casos se han obtenido las curvas características de los diodos LED I (V) prestando un cuidado especial para la mejor identificación de la tensión en el codo de la curva.

Fig.14 Figura con resultados del primer procedimiento (circuito de c. c.). Curva característica midiendo con el LED Azul y el LED verde, ambos de CO.


En la figura 13 se muestra una animación del esquema eléctrico simplificado para la determinación de la curva característica de los diodos LED en corriente continua, punto a punto para los valores corriente-tensión. Para realizarla se va aumentando paulatinamente la tensión V del generador midiendo en cada incremento la tensión en bornes del diodo y la intensidad de corriente que lo atraviesa. Cuando el circuito está alimentado con un generador de tensión continua y para obtener la citada curva, se han representado para cada LED los puntos experimentales I (V) medidos con especial detalle en la zona del codo de la curva como se puede apreciar en la figura 14.




Invirtiendo la polaridad del generador se ha obtenido la rama de la curva característica correspondiente a la zona de tensiones negativas. La intensidad de corriente en esta zona es muy débil (figura 15 a). Para el segundo procedimiento el circuito de medida es, básicamente, el de la figura 13 pero sustituyendo la fuente de continua por una f.e.m. de alterna que permite verificar la función rectificadora del diodo en polarización inversa (figura 15 b). Con este procedimiento se registró la serie de medidas (corriente, tensión) con una tarjeta de adquisición de datos Picoscope 6 . En la figura 15 se muestra una curva característica I (V) para el LED RS Rojo, parte a) y a la derecha, parte b) la evolución temporal de ambas observando la rectificación de la corriente que produce el diodo LED.


Fig.15 Figura con resultados del segundo procedimiento (circuito de c. alterna)
a) Curva característica del LED rojo .
b) Representación temporal de la corriente a través del LED (I), y de la tensión de alimentación (V).






Fig.16 Comparación de ambos procedimientos, en continua y en alterna para el LED CO azul, prestando especial atención en la zona del codo.

Para completar los procedimientos de medida y analizar la influencia de otros generadores de onda, se ha determinado la curva característica de los diodos LED sustituyendo el generador c.c. por un generador de onda triangular y un generador de onda sinusoidal. En estos dos casos se ha obtenido el trazado completo de la curva característica empleando un osciloscopio digital.

Con la intención de precisar mejor la determinación de la tensión de encendido( Vo ) se han comparado las medidas del primer procedimiento en c.c. , con las del segundo, en c.a. en la zona del codo. En la figura 16 se puede observar dicha comparación para el LED CO azul. En esta zona donde la corriente que atraviesa el LED es débil, en el rango de 0,02 a 0,1 mA, la coincidencia de los dos tipos de medidas es muy buena y nos permite precisar el 'el despegue' de la curva en el momento de 'encendido' del LED.









En la tabla que sigue figuran los valores de λ medidos en el Laboratorio 21 y los valores de la tensión de encendido deducida comparando las medidas en corriente alterna y en continua, explicado en esta sección.




’Valores experimentales obtenidos para las longitudes de onda y para las tensiones de encendido de los siete LED seleccionados’.

Color Long. onda λ (nm) Tensión de encendido Vo (V)
RS Violeta 403 2,79
CO Azul 468 2,49
D+LED Verde 516 2,38
CO Verde 522 2,35
RS Ambar 605 1,71
RS Rojo 638 1,70
RS Infrarrojo 890 1,18









Obtención de la Constante de Planck a partir de la frecuencia y la tensión umbral

En la tabla siguiente se han resumido los valores experimentales necesarios para determinar la constante de Planck por un procedimiento de laboratorio universitario del primer curso de la universidad 22. En la primera columna figuran los diodos LED empleados, en la segunda columna aparece la frecuencia característica de emisión de cada uno de ellos y en la tercera la anchura de la banda prohibida determinada experimentalmente, expresada en unidades de energía. En la cuarta columna se muestra una estimación de la constante de Planck calculada a partir de los valores medidos para cada diodo LED.


Color Frecuencia f=c/λ (Hz) E=qVo=hf (J) <h>
RS Violeta 7,44·1014 4,47·10-19 (6,79 ± 0,06)
× 10-34 J. s


R2 = 0,953
CO Azul 6,41·1014 3,99·10-19
D+LED Verde 5,81·1014 3,81·10-19
CO Verde 5,75·1014 3,77·10-19
RS Ambar 4,96·1014 2,74·10-19
RS Rojo 4,70·1014 2,72·10-19
RS Infrarrojo 3,37·1014 1,89·10-19




El valor definitivo de la constante de Planck se ha determinado representando los siete puntos experimentales (f, E),y ajustándolos a una recta. La pendiente de la recta ajustada constituye una buena estimación de la constante de Planck.




Se representa a continuación, en la gráfica 17 , los siete puntos resultado de las medidas, de coordenadas (f, eV_0) . Aparece en la misma la gráfica la recta correspondiente al ajuste realizado y que corresponde a la ecuación (5) según explicación dada al comienzo de la sección. El resultado del ajuste proporciona un valor de


                                                         h = (6.79\pm 0.06) \times 10 ^{-34} J.s .

El resultado obtenido si bien es una estimación de la constante ya que aprecia sólo la primera cifra significativa, resulta adecuado teniendo en cuenta la sencillez del método utilizado para obtenerla. Por otro lado con este procedimiento de medida, además de practicar con LEDs, se introduce en la mecánica cuántica a los estudiantes de ciencias e ingenieria. De los muy diversos trabajos existentes en laboratorios docentes universitarios y a modo de comparación, se incluyen tres referencias que utilizan este método para obtener la Constante de Planck. La ref. 23 de la Universidad de Pennsylvania, la ref. 24 del Cornell Center for Material Resarch y la ref. 25 de la Universidad de Buenos Aires. En esta última referencia se compara el valor obtenido para la constante de Planck con el obtenido por otros dos métodos en los que consideran el modelo de Shockley para el diodo y que, sin embargo, no obtienen una mejor estimación.




Fig. 17 Representación gráfica de la obtención experimental de la constante de Planck realizada por alumnos de la UPM.



Fig. 18 Animación ilustrativa de la iluminación sucesiva de diversos diodos LED.

Representación informática

Unicode reserva los códigos U+210E (Plantilla:Unicode) para la constante de Planck y U+210F (Plantilla:Unicode) para la constante de Dirac.






BIBLIOGRAFÍA

Referencias


[1] "PLANCK: La fuerza del deber" Carlos Olalla Linares, cap. 3, ed. Nivola, Tres Cantos. isbn=978-84-96566-15-6 (2006)

[2] Max Planck - A conservative revolutionary M Cardona and W. Marx, Il Nuovo Saggiatore 24 Nº. 5-6 Págs. 39-54 (2008)

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[4a] The Photoelectric Effect: A practical approach. Molly Golladay; Allatoona HS, Acworth, GA (2009)

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[5] Observation of Radiation Pressure Shot Noise on a Macroscopic Object. T. P. Purdy, R. W. Peterson, C. A. Regal . Science 15, Vol. 339, February 2013

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[10] Ann.Physik 1.Max Planck, 69-122 (1900)

[11] The quantum Hall effect as an electrical resistance standard. B Jeckelmann and B Jeanneret, Rep. Prog. Phys. 64, 1603–1655 (2001)

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[18] RS

[19] CO(Conectrol)

[20] D+LED

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[22] Medida de la Constante de Planck, Laboratorio Física, Departamento de Física Aplicada, E.T.S.I. de Telecomunicación, UPM

[23] Medida de la Constante de Planck, Lock Haven University of Pennsylvania

[24] Medida de la Constante de Planck, Cornell Center for Material Resarch

[25] Medida de la Constante de Planck, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires

Libros


  • Física Cuántica. Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos y Partículas (1994) R. Eisberg y R. Resnick . Ed. Limusa, S.A. México. ISBN:968-18-0419-8.
  • Física Cuántica (1997) Carlos Sánchez del Río. Ed Pirámide.
  • Circuítos Microelectrónicos (5ª Ed.) A. S. Sedra, MCGRAW-HILL , INTERAMERICANA DE MEXICO, 2006.
  • Light-emitting semiconductors. Frederick F. Morehead, Jr. , Scientific American 216, 5 (may 1967 ) Págs.108-122.
  • Light Emitting Diodes, F. Schubert, Ed. Cambridge University Press, Sec. Ed. 2006. ISBN-13 978-0-521-865388-8.
  • Física(Vol. II): Campos y Ondas (Ed. Rev. y Aum.) M. Alonso, E.J. Finn, ALHAMBRA MEXICANA, S.A., 1998
  • Física para la ciencia y la tecnología (Vol. II) (6ª Ed.) P. A. Tipler, G. Mosca, REVERTE, 2010.

Ver también



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